前置知识：
【定义】矩阵【定义】矩阵初等变换和矩阵等价
定义 1（行阶梯形矩阵） 非零矩阵若满足：
非零行在零行的上面；非零行的首非零元在列的上一行（如果存在的话）的首非零元所在列的后面；
则称此矩阵为 行阶梯形矩阵。
例如，下面的矩阵 A\boldsymbol{A}A 就是一个行阶梯形矩阵。
A=(11−21401−1100001−300000)
\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix}
1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\
0 & 1 & -1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
A=10001100−2−100111040−30
定义 2（行最简形矩阵） 若行阶梯形矩阵满足：
非零行的首非零元为 111；首非零元所在的列的其他元均为 000
则称此矩阵为 行最简形矩阵。
例如，下面的矩阵 B\boldsymbol{B}B 就是一个行最简形矩阵。
B=(10−10401−1030001−300000)
\boldsymbol{B} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & 0 & 4 \\
0 & 1 & -1 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
B=10000100−1−100001043−30
定理 1 对于任何非零矩阵 m×n\boldsymbol{m \times n}m×n，总可经有限次初等行变换将它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。
证明 首先证明对于任何非零矩阵 m×n\boldsymbol{m \times n}m×n，总可经有限次初等行变换将它变为行阶梯形矩阵。
不妨设有 m×nm \times nm×n 矩阵 A\boldsymbol{A}A，不妨设其第 iii 行第 jjj 列的元素为 aija_{ij}aij。
首先对第 111 列进行如下处理。若第 111 列中的元素全部为 000，则没有非零行的首非零元处于第 111 列。若第 111 列中的元素不全为 000，则进行如下操作：
通过 “对换两行” 的操作，将第 111 列的元素不为 000 的行对换到第 111 行；通过 “将第 111 行所有元的 kkk 倍加到另一行对应的元上去” 的操作，令第 iii 行（i≠1i \ne 1i=1）加上第 111 行所有元的 ai1a11\frac{a_{i1}}{a_{11}}a11ai1 倍，从而使除第 111 行外其他行第 111 列的元素均为 000。
通过上述处理，可以保证第 111 列最多只有第 111 行一个非零元。接着一次对第 2,3,⋯ ,n2,3,\cdots,n2,3,⋯,n 列均进行上述处理。处理后的矩阵 B\boldsymbol{B}B 满足：
每一行的首非零元一定在上一行（如果存在的话）的首非零元的列的右侧；如果有非零行的话，一定在矩阵的最下面；
因此矩阵 B\boldsymbol{B}B 为行阶梯形矩阵。
类似地，可以证明对于任何非零矩阵 m×n\boldsymbol{m \times n}m×n，总可经有限次初等行变换将它变为行最简形矩阵。
定义 3（标准形） 如果一个行最简形矩阵满足：
左上角是一个单位矩阵；其他元全为 000；
则此矩阵称为 标准形。
例如，下面的矩阵 F\boldsymbol{F}F 就是标准形矩阵。
F=(10000010000010000000)
\boldsymbol{F} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
F=10000100001000000000
定理 2 对于 m×nm \times nm×n 矩阵 A\boldsymbol{A}A，总可经过有限次初等变换将它化为标准形
F=(ErOOO)m×n
\boldsymbol{F} = \begin{pmatrix}
\boldsymbol{E}_r & \boldsymbol{O} \\
\boldsymbol{O} & \boldsymbol{O}
\end{pmatrix}_{m \times n}
F=(ErOOO)m×n
此标准形由 m,n,rm,n,rm,n,r 三个数完全确定，其中 rrr 就是行阶梯形矩阵中非零行的行数。
证明 类似定理 1 可以证明。
所有与 A\boldsymbol{A}A 等价的矩阵组成一个集合，标准形 F\boldsymbol{F}F 是这个集合中形状最简单的矩阵。